Bài 3 trang 88 SGK Đại số 10

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a

\(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\);

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép biến đổi tương đương thường gặp để nhận xét.

Lời giải chi tiết:

\(- 4x + 1 > 0\) \( \Leftrightarrow \left( { - 1} \right).\left( { - 4x + 1} \right) < \left( { - 1} \right).0 \)

(Nhân cả hai vế với \(-1<0\))

\(\Leftrightarrow 4x - 1 < 0\)

Vậy hai bất phương trình tương đương.

b

\(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\);

Lời giải chi tiết:

\(2{x^2} + 5 \le 2x - 1\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - 2x + 1 \le 2x - 1 - 2x + 1\) (cộng cả hai vế với \( - 2x + 1\))

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 6 \le 0\)

Nên hai bất phương trình tương đương.

c

\(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \dfrac{1}{x^{2}+1}>\dfrac{1}{x^{2}+1};\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép biến đổi tương đương thường gặp để nhận xét.

Lời giải chi tiết:

\(x + 1 > 0\) \( \Leftrightarrow x + 1 + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} > \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\)

(cộng hai vế với \(\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\))

d

\(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép biến đổi tương đương thường gặp để nhận xét.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Khi đó \(2x + 1 > 0\).

Do đó \(\sqrt {x - 1}  \ge x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\sqrt {x - 1}  \ge \left( {2x + 1} \right)x\)

(Nhân cả hai vế với \(2x + 1 > 0\))

Vậy hai bất phương trình tương đương.