-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 31 trang 116 SGK Toán 9 tập 1
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết cho Bài 31 trang 116 SGK Toán 9 tập 1
Đề bài
Trên hình \(82\), tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((O)\).
a) Chứng minh rằng:
\(2AD=AB+AC-BC.\)
b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: Nếu \(AB,\ AC\) là hai tiếp tuyến của \((O)\) lần lượt tại \(A,\ B\) thì ta có: \(AB=AC\)
+) Chu vi tam giác \(ABC\) là \(C_{\Delta{ABC}}=AB+AC+BC\)
Lời giải chi tiết
a) Tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(AB,\ BC,\ AC\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(D,\ E,\ F\) của đường tròn.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(AD=AF;\ DB=BE;\ FC=CE.\)
Xét vế phải:
\(VP=AB+AC-BC\)
\(=(AD+DB)+(AF+FC)-(BE+EC)\)
Thay \(DB=BE,\ FC=CE\) vào biểu thức trên, ta được:
\(VP=(AD+BE)+(AF+CE)-(BE+EC)\)
\(=AD+BE+AF+CE-BE-EC\)
\(=AD+AF+(BE-BE)+(CE-EC)\)
\(= AD+AF=2AD=VT.\) (Do \(AD=AF)\)
Vậy \(2AD=AB+AC-BC.\)
b) Các hệ thức tương tự là:
\(2BD=BA+BC-AC;\)
\(2CF=CA+CB-AB.\)
Nhận xét.
Đặt \(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}\) là nửa chu vi của tam giác \(ABC\), \(AB=c;\ BC=a;\ CA=b\).
Ta có: \(2AD=AB+AC-BC\)
\(=(AB+AC+BC)-2BC\)
\(\Leftrightarrow AD=\dfrac{AB+AC+BC}{2}-\dfrac{2BC}{2}\)
\(\Leftrightarrow AD=p-BC\) hay \(AD=p-a\).
Tương tự ta có các kết quả sau:
\(AD=AF=p-a;\)
\(BD=BE=p-b;\)
\(CE=CF=p-c.\)