Bài 34 trang 128 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật . Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh ấy.

- Diện tích hình chữ nhật có kích thước hai cạnh \(a,b\) là \(S=a.b\).

- Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo.

\(S=\dfrac{1}{2}{d_1}.{d_2}\)

Lời giải chi tiết

Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\) với các trung điểm các cạnh \(M, N, P, Q.\)

Vẽ tứ giác \(MNPQ\)

Ta có:

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\) nên \(MN = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất)

\(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(CBD\) nên \(PQ = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất)

\(NP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(NP = \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất)

\(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\) nên \(MQ = \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất)

Mà \(AC = BD\) (tính chất hình chữ nhật) nên suy ra \(MN = PQ = NP = MQ.\)

Nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ta có: \(∆AMN = ∆INM , ∆BPN = ∆NIP, \)\(\,∆PCQ = ∆IQP, ∆DMQ = ∆IQM\)

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = {S_{INM}},{S_{BPN}} = {S_{NIP}},\)\({S_{PCQ}} = {S_{IQP}},{S_{DMQ}} = {S_{IQM}}\)

Ta có: 

\({S_{MNPQ}} = {S_{MNI}} + {S_{NIP}} + {S_{IQP}} \)\(+ {S_{MQI}}\)

\(\begin{array}{l}
= {S_{AMN}} + {S_{BNP}} + {S_{PCQ}} + {S_{MQD}}\\
= \dfrac{1}{2}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \dfrac{1}{2}.AB.AD \\= \dfrac{1}{2}.MP.NQ
\end{array}\)

Vậy \({S_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2} MP.NQ\).

Do đó diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.