Bài 4 trang 105 SGK Đại số 10

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các phương trình sau vô nghiệm

a

\((m - 2)x^2+ 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0\); 

Phương pháp giải:

+) Xét với từng trường hợp để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.

+) Phương trình bậc hai vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta '  < 0.\)

Chú ý:

Công thức tính \(\Delta '\) là \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) với \(b' = \frac{b}{2}\)

Lời giải chi tiết:

+) Với \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì phương trình trở thành \(2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\)

Phương trình chỉ có \(1\) nghiệm, do đó trường hợp này không thỏa mãn.

+) Với \(m\ne 2\)

Phương trình vô nghiệm

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' < 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {5m - 6} \right) < 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 - \left( {5{m^2} - 16m + 12} \right) < 0\\
\Leftrightarrow - {m^2} + 4m - 3 < 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 1\\
m > 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Kết hợp \(m\ne 2\) ta được \(m < 1\) hoặc \(m > 3\).

Vậy phương trình vô nghiệm khi \(m < 1\) hoặc \(m >3.\)

b

\((3 - m)x^2- 2(m + 3)x + m + 2 = 0\).

Lời giải chi tiết:

+) Với \(m = 3\), phương trình trở thành: 

\( - 12x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{{12}}\) nên phương trình có nghiệm, không thỏa yêu cầu bài toán.

+) Với \(m\ne 3\)

Phương trình vô nghiệm

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' < 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {3 - m} \right)\left( {m + 2} \right) < 0\\
\Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 - \left( { - {m^2} + m + 6} \right) < 0\\
\Leftrightarrow 2{m^2} + 5m + 3 < 0\\
\Leftrightarrow - \frac{3}{2} < m < - 1
\end{array}\)

Kết hợp \(m\ne 3\) ta được \( - \dfrac{3}{2} < m < - 1. \)

Vậy phương trình vô nghiệm khi \( - \dfrac{3}{2} < m < - 1. \)