Bài 4 trang 25 sách giáo khoa Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên các đoạn thẳng \(SA, SB, SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’, B’, C’\) khác với \(S\). Chứng minh rằng

\(\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi h và h' lần lượt là chiều cao hạ từ A và A' đến \((SBC)\), dựa vào định lí Vi-et tính tỉ số \(\frac{h'}{{h}}\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{\Delta SB'C'}} = \frac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}\) tính diện tích tam giác \(SB'C'\), tương tự tính diện tích tam giác \(SBC\), sau đó suy ra tỉ số \(\dfrac{{{S_{\Delta SB'C'}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\).

+) Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}S.h\) lập tỉ số thể tích S.A'B'C' và S.ABC, rút gọn và suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết

Gọi \(h\) và \(h’\) lần lượt là chiều cao hạ từ \(A, A’\) đến mặt phẳng \((SBC)\).

* Do A’H’// AH nên bốn điểm A, A’; H’ và H đồng phẳng. (1)

Lại có, 3 điểm A, S, H đồng phẳng (2).

Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm A, A’, S. H và H’ đồng phẳng.

Trong mp(ASH) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'H' \bot SH'\\AH \bot SH\\A'H'//AH\end{array} \right. \Rightarrow SH' \equiv SH\)

⇒ Ba điểm S, H và H’ thẳng hàng.

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) theo thứ tự là diện tích các tam giác \(SBC\) và \(SB’C’\).

Khi đó ta có \(\displaystyle{{h'} \over h} = {{SA'} \over {SA}}\) (định lý Ta - let) và:

\(\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}=\dfrac{{{S_{SB'C'}}}}{{{S_{SBC}}}} \) \(= \dfrac{{\dfrac{1}{2}SB'.SC'.\sin \widehat {BSC}}}{{\dfrac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

Suy ra \(\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A'.SB'C'}}} \over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 \over 3}h'{S_2}} \over {{1 \over 3}h{S_1}}}\) \(=\dfrac{{h'}}{h}.\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) \( = \displaystyle{{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\) 

Đó là điều phải chứng minh.

Chú ý: Từ nay về sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.