Bài 4 trang 64 SGK Đại số và Giải tích 11

Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu \(A_k\) là biến cố: "Người thứ \(k\) bắn trúng", \(k = 1, 2\).

 a

Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố \(A_1,A_2\) :

\(A\): "Không ai bắn trúng";

\(B\): "Cả hai đều bắn trúng";

\(C\): "Có đúng một người bắn trúng";

\(D\): "Có ít nhất một người bắn trúng".

Phương pháp giải:

Sử dụng các khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán trên các biến cố.

Lời giải chi tiết:

Phép thử \(T\) được xét là: "Hai xạ thủ cùng bắn vào bia".

Theo đề ra ta có \(\overline{A_{k}}\) = "Người thứ \(k\) không bắn trúng", \(k = 1, 2\). Từ đó ta có:

\(A\) = "Không ai bắn trúng" = "Người thứ nhất không bắn trúng và người thứ hai không bắn trúng". Suy ra

\(A\) = \(\overline{A_{1}}\) . \(\overline{A_{2}}\).

Tương tự, ta có \(B\) = "Cả hai đều bắn trúng" = \(A_{1}\) . \(A_{2}\).

Xét \(C\) = "Có đúng một người bắn trúng", ta có \(C\) là hợp của hai biến cố sau:

"Người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn trượt" =\( A_1\) . \(\overline{A_{2}}\).

"Người thứ nhất bắn trượt và người thứ hai bắn trúng" = \(\overline{A_{1}}\) .\( A_2\).

Suy ra \(C = A_1\). \(\overline{A_{2}}\) ∪ \(\overline{A_{1}}\) . \(A_2\).

Tương tự, ta có \(D = A_1 ∪ A_2\).

 b

Chứng tỏ rằng \(A\) = \(\overline{D}\); \(B\) và \(C\) xung khắc.

Phương pháp giải:

Sử dụng các khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán trên các biến cố.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overline{D}\) là biến cố: " Cả hai người đều bắn trượt". Ta có \(\overline{D}\) = \(\overline{A_{1}}\) . \(\overline{A_{2}}\) = \(A\).

Hiển nhiên \(B ∩ C =\phi \) vì nếu cả hai người bắn trúng thì sẽ không xảy ra trường hợp có đúng một người bắn trúng và ngược lại.

Vậy \(B\) và \(C\) xung khắc với nhau.