Bài 4 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \(b\) chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:

 a

Phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai có nghiệm \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Không gian mẫu là \(Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\), \(n(Ω )=6\)

Ta có bảng:

Phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(∆ = b^2 - 8 ≥ 0\) (*).

Vì vậy nếu \(A\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm"

thì \(A =\left\{{3, 4, 5, 6}\right\}, n(A) = 4\) và \(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

Cách khác:

Phương trình (1) có nghiệm

⇔ Δ ≥ 0 ⇔ b ≥ 2√2

⇒ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

⇒ A = {3, 4, 5, 6}

⇒ n(A) = 4

\(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

 b

Phương trình vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai vô nghiệm \(\left( {\Delta  < 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Biến cố \(B\): "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) vô nghiệm"

Dễ thấy A và B là các biến cố đối

Theo qui tắc cộng xác suất ta có \(P(B) = 1 - P(A)\) = \(\frac{1}{3}\).

Cách khác:

(1) vô nghiệm

⇔ Δ < 0 ⇔ b ≤ 2√2

⇒ b ∈ {1; 2}

⇒ B = {1, 2}

⇒ n(B) = 2

\(P(B)\) \(=\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)

 c

Phương trình có nghiệm nguyên.

Phương pháp giải:

Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là \(\Delta \) là số chính phương.

Lời giải chi tiết:

\(C\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên" 

Phương trình (1) có nghiệm

⇔ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

Thử các giá trị của b ta thấy:

Khi \(b=3\) thì phương trình trở thành \({x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Do đó \(C = \left\{{3}\right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\).

Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{6}.\)