Bài 4 trang 91 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc vuông \(xOy\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(B\) thuộc tia \(Oy.\) Đường trung trực của đoạn thẳng \(OA\) cắt \(Ox\) ở \(D\), đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(OB\) cắt \(Oy\) ở \(E.\) Gọi \(C\) là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:

a) \(CE = OD\);                b) \(CE ⊥ CD\);

c) \(CA = CB\);                 d) \(CA // DE\);

e) Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

- Áp dụng tính chất: Nếu đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a, b\) và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì \(a\) và \(b\) song song với nhau.

- Áp dụng tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

- Áp dụng định lí: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(Ox \perp  Oy\) và \(CE \perp  Oy\) \( \Rightarrow EC // Ox\)   (1)

              \(Oy \perp  Ox\) và \(CD \perp  Ox\) \( \Rightarrow DC // Oy\)   (2)

\(\widehat {CDE} = \widehat {OED}\) (so le trong); \(\widehat {ODE} = \widehat {CED}\) (so le trong)

Xét  \(\Delta DOE\) và \(\Delta ECD\) có:

+) \(DE\) chung

+) \( \widehat {OED}=\widehat {CDE} \) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {ODE} = \widehat {CED}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta DOE = \Delta ECD\)  (g.c.g).

\( \Rightarrow OD = CE\) (Hai cạnh tương ứng)

b) Ta có \(CE // Ox\) (do (1)). Mà \(CD \perp  Ox\) 

Suy ra \(CD \perp  CE\) (điều phải chứng minh).

c) Vì \(C\) nằm trên đường trung trực của \(OA\) nên \(CA = CO\)  (3)

    Vì \(C\) nằm trên đường trung trực của \(OB\) nên \(CB = CO\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(CA = CB\) (điều phải chứng minh).

d) Xét hai tam giác vuông \(DAC\) và \(CED\) ta có:

+) \(CD\) cạnh chung

+) \( \widehat {ADC} = \widehat {ECD} = 90^o \)

+) \( AD = CE\) (do \(OD = DA = CE\))

Vậy \(∆DAC = ∆CED\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \; \widehat {ACD} = \widehat {EDC} \) (Hai góc tương ứng).

Hơn nữa \(\widehat {ACD}\) so le trong với \(\widehat {EDC} \).

Suy ra \(CA // DE\) (điều phải chứng minh).

e) Chứng minh tương tự như câu d suy ra \(CB // DE\).

Xét hai tam giác \(CEB\) và \(DOE\) ta có:

+) \(OE=EB\) (do E là trung điểm cạnh OB)

+) \( \widehat {CEB} = \widehat {DOE} = 90^o \)

+) \( OD = CE\) (theo câu a)

Vậy \(∆CEB = ∆DOE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \; \widehat {DEO} = \widehat {CBE} \) (Hai góc tương ứng).

Hơn nữa \(\widehat {DEO}\) và \(\widehat {CBE} \) ở vị trí đồng vị 

Suy ra \(CB // DE\)

Do đó theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra hai đường thẳng \(BC\) và \(CA\) trùng nhau hay \(A, B, C\) thẳng hàng.