-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết cho bài 4 trang 99 SGK Hình học 12
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \matrix{x = - 1 + 3t \hfill \cr y = 2 - 2t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)
a
Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d\) và \(AB\) cùng nằm trong một mặt phẳng.
Phương pháp giải:
Chứng minh AB // d. Suy ra AB và d cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} =(6; -4; 4)\)
Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (3; -2; 2)\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow a \) và \(A ∉ (d)\)
\( \Rightarrow AB\) và \((d)\) song song với nhau.
\( \Rightarrow \) Hai đường thẳng \((d)\) và \(AB\) cùng thuộc một mặt phẳng.
b
Tìm điểm \(I\) trên \(d\) sao cho \(AI + BI\) nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d, khi đó ta có IA = IA' \( \Rightarrow IA + IB = IA' + IB \ge A'B\).
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow I = d \cap A'B\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) thì điểm \(I\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) và đường thẳng \(d\).
Trong câu a) ta chứng minh được \(AB // d\), từ đó suy ra \(I\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M(4; 0; 1)\).
Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\):
\(3(x - 4) - 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0\) \( \Rightarrow 3x - 2y + 2z - 14 = 0\)
Phương trình tham số của \((d)\):\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 3t \hfill \cr
y = 2 - 2t \hfill \cr
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Giá trị tham số ứng với giao điểm \(I \)của \((d)\) và mặt phẳng trung trực của \(AB\) là nghiệm của phương trình:
\(3( -1 + 3t) - 2(2 - 2t) + 2(2 + 2t) - 14 = 0\) \( \Rightarrow t = 1\)
Từ đây ta được \(I (2; 0; 4)\)
Cách khác:
Gọi M là trung điểm của AB, H là giao điểm của AA’ với d.
IH//AB, H là trung điểm AA’ nên I là trung điểm A’B.
Mà M là trung điểm AB nên MI là đường trung bình của tam giác AA’B.
\( \Rightarrow MI//AA'\), mà \(AA' \bot d \Rightarrow MI \bot d\).
Ta có: \(M\left( {4;0;1} \right)\), \(I\left( { - 1 + 3t;2 - 2t;2 + 2t} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MI} = \left( { - 5 + 3t;2 - 2t;1 + 2t} \right)\)
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 2;2} \right)\)
\(MI \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\) \( \Leftrightarrow 3\left( { - 5 + 3t} \right) - 2\left( {2 - 2t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 15 + 9t - 4 + 4t + 2 + 4t = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 17 + 17t = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow I\left( {2;0;4} \right)\end{array}\)