Bài 40 trang 53 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Rút gọn biểu thức sau theo hai cách (sử dụng và không sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng):

\(\dfrac{{x - 1}}{x}.\left( {{x^2} + x + 1 + \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

\(\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{G}{H}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{G}{H}\)

- Áp dụng quy tắc nhân hai phân thức:

\( \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}\)

Lời giải chi tiết

Cách 1: Áp dụng tính phân phối:  

\(\dfrac{{x - 1}}{x}.\left( {{x^2} + x + 1 + \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)\)

\( = \dfrac{{x - 1}}{x}.\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right]\)

\( = \dfrac{{x - 1}}{x}.\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \dfrac{{x - 1}}{x}.\dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}\)

\( =\dfrac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}+\dfrac{(x-1)x^{3}}{x(x-1)}\)

\( =\dfrac{x^{3}-1}{x}+\dfrac{x^{3}}{x}\)

\(=\dfrac{x^{3}-1+x^{3}}{x}=\dfrac{2x^{3}-1}{x}\)

Cách 2: Không áp dụng tính phân phối:

\(\dfrac{{x - 1}}{x}.\left( {{x^2} + x + 1 + \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)\)

\( = \dfrac{{x - 1}}{x}.\left( {\dfrac{{({x^2} + x + 1)(x - 1)}}{{x - 1}} + \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)\)

\( =\dfrac{x-1}{x}.\left( {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} + \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)\)

\(=\dfrac{x-1}{x}.\dfrac{x^{3}-1+x^{3}}{x-1}\)

\( =\dfrac{(x-1)(2x^{3}-1)}{x(x-1)}=\dfrac{2x^{3}-1}{x}\)