Bài 43 trang 125 SGK Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt. Lấy các điểm \(A,B\) thuộc tia \(Ox\) sao cho \(OA <OB.\)

Lấy các điểm \(C, D\) thuộc tia \(Oy\) sao cho \(OC = OA, OD = OB.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC.\)

Chứng minh rằng:

a) \(AD = BC\);

b) \(∆EAB = ∆ECD\);

c ) \(OE\) là tia phân giác của góc \(xOy.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và một góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

b) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

c) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(∆OAD\) và \(∆OCB\) có:

+) \(OA = OC\) (giả thiết)

+) \(\widehat{O}\) chung

+) \(OD = OB\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  ∆OAD = ∆OCB\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  AD = BC \) (hai cạnh tương ứng).

b) \(∆OAD = ∆OCB\) (chứng minh câu a) 

\( \Rightarrow \widehat{D_1}= \widehat{B_1}\); \(\widehat{A _{2}}= \widehat{ C _{2}}\) (các góc tương ứng)

Mặt khác:

\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\) (Hai góc kề bù)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\) (Hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}=\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\)

Mà \(\widehat{A _{2}} = \widehat{ C _{2}}\) nên \(\widehat{A _{1}} = \widehat{ C _{1}}\)

\(AB = OB - OA \)                  (1)

\(CD = OD - OC  \)                (2)

\(OC = OA, OD = OB \)  (giả thiết)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AB = CD.\)

Xét \(∆EAB\) và  \(∆ECD\) có:

+) \(\widehat{A _{1}} = \widehat{ C _{1}}\) (chứng minh trên) 

+) \(AB = CD\) (chứng minh trên) 

+) \(\widehat{B_1} = \widehat{D_1}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆EAB =  ∆ECD \) (g.c.g)

c) \(∆EAB =  ∆ECD\) (chứng minh câu b)

\( \Rightarrow  EA = EC\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(∆OAE\) và \(∆OCE \) có:

+) \(OA=OC\) (giả thiết)

+) \(EA=EC\) (chứng minh trên)

+) \(OE\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆OAE = ∆OCE\) (c .c.c)

\( \Rightarrow \widehat{ AOE} = \widehat{ C OE}\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(OE\) là tia phân giác của góc \(xOy.\)