Bài 45 trang 92 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) (\(AB > BC\)). Tia phân giác của góc \(D\) cắt \(AB\) ở \(E\), tia phân giác của góc \(B\) cắt \(CD\) ở \(F\).

a) Chứng minh rằng \(DE // BF\).

b) Tứ giác \(DEBF\) là hình gì ? Vì sao ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

+) Hình bình hành có các góc đối bằng nhau. 

+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (giả thiết)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (tính chất hình bình hành )                       (1)

Vì \(BF\) là tia phân giác \(\widehat {ABC}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\) (tính chất tia phân giác)    (2)

Vì \(DE\) là tia phân giác \(\widehat {ADC}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \dfrac{{\widehat {ADC}}}{2}\) (tính chất tia phân giác)   (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\)  (4)

Có \(AB//DC\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\) (so le trong)   (5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{D_2}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE//BF\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

b) \(ABCD\) là hình bình hành (giả thiết)

\( \Rightarrow \)\(AB // CD\) (tính chất hình bình hành) hay \(BE // DF\)

Xét tứ giác \(DEBF\) có \(BE // DF\) (chứng minh trên) và \(DE//BF\) (theo câu a)

Suy ra tứ giác \(DEBF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).