Bài 48 trang 77 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Hai điểm \(M\) và \(N\) cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(xy.\)  Lấy điểm \(L\) đối xứng với \(M\) qua \(xy.\) Gọi \(I\) là một điểm của \(xy.\) Hãy so sánh \(IM + IN\) với \(LN.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và bất đẳng thức tam giác.

Lời giải chi tiết

Gọi \(P\) là giao điểm của \(LN\) với \(xy.\)

Vì L và M đối xứng với nhau qua đường thẳng xy nên xy là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với ML.

Do đó, \(xy\) là đường trung trực của \(ML\)

Mà \(I \in xy\Rightarrow IM = IL\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

- Nếu \(I\) không trùng \(P\) tức là ba điểm \(L,I,N\) không thẳng hàng

Xét \(ΔINL\) có \(IL + IN > LN\) (bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow IM + IN > LN\).

- Nếu \(I ≡ P\) tức là ba điểm \(L,I,N\) thẳng hàng, suy ra: \(IL + IN = LN\).

Khi đó: \(IM + IN = IL + IN = LN\) (vì \(IM=IL)\) 

Vậy với mọi vị trí của \(I\) trên \(xy\) thì \(IM + IN ≥ LN.\)