Bài 49 trang 93 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD, AB.\) Đường chéo \(BD\) cắt \(AI, CK\) theo thứ tự ở \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng:

a) \(AI // CK\)

b) \(DM = MN = NB\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

+) Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

Lời giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (giả thiết) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = C{\rm{D}}\\
AB//C{\rm{D}}
\end{array} \right.\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD, AB\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AK =KB= \dfrac{{AB}}{2}\\
IC =ID= \dfrac{{DC}}{2}
\end{array} \right.\) (tính chất trung điểm)

Mà \(AB=CD\) (chứng minh trên) nên \(\dfrac{AB}2=\dfrac{CD}2\)

\( \Rightarrow AK = IC\)

Lại có: \(AB//DC\left( \text{chứng minh trên} \right)\) \( \Rightarrow AK//IC\) 

Tứ giác \(AICK\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
AK//IC\\
AK = IC
\end{array} \right.\left( \text{chứng minh trên} \right)\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác \(AICK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

\(\Rightarrow AI // CK\) (tính chất hình bình hành)

b) \(∆DCN \) có \(DI = IC\) (chứng minh trên), \(IM // CN\) (vì \(AI // KC\))

\(\Rightarrow  DM = MN\)   (1) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

 Xét \(∆ABM\) có \(AK = KB\) (chứng minh trên) và \(KN // AM\) ( vì \(AI // CK \))

\(\Rightarrow  MN = NB \).   (2) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow DM = MN = NB.\)