Bài 5 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

 a

\(13^n-1\) chia hết cho \(6\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)

Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)

Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)

Thật vậy:

\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)

\(\begin{array}{l}
= \left( {{{13}^{k + 1}} - {{13}^k}} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)\\
= {13^k}\left( {13 - 1} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)
\end{array}\)

\(= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\)

Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp)

Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\)

Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in N^*\).

 b

\(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\)

Giả sử:  \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\) \(\forall k \ge 1\).

Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Thật vậy:

\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)

\(= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)

\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)

\(= (3k^3+ 15k ) + 9(k^2+ k + 2)\)

Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\)

Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)