Bài 5 trang 140 sách giáo khoa Giải tích 12

Đề bài

Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách 1:

\(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\).

Thay \(z,\overline z \) và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai.

Cách 2:

Tính \(S = z+\overline z,\,\,P = z.\overline z\), khi đó \(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x.z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}\)

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)

Cách 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\
z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2}
\end{array}\)

\(\Rightarrow z,\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).