-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 5 trang 146 SGK Giải tích 12
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết cho bài 5 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số: \(y = {x^4} + a{x^2} + b.\)
LG a
a) Tính \(a,\, b\) để hàm số có cực trị bằng \(\displaystyle{3 \over 2}\) khi \(x = 1.\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực trị tại điểm \(x=x_0 \Leftrightarrow x_0\) là nghiệm của của phương trình \(y'=0.\)
+) Điểm cực trị thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của điểm đó thỏa mãn công thức hàm số.
+) Từ hai điều trên ta có hệ phương trình hai ẩn \(a, \, b.\) Giải hệ phương trình ta tìm được \(a, \, b.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = 4{x^3} + 2ax.\)
a) Nếu hàm số có cực trị bằng \(\displaystyle{3 \over 2}\) khi \(x = 1\) thì: ta có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( {1;\;\dfrac{3}{2}} \right)\) và có \(y'\left( 1 \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y'(1) = 0 \hfill \cr
y(1) = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4 + 2a = 0 \hfill \cr
1 + a + b = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
LG b
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho khi \(\displaystyle a = {{ - 1} \over 2}, \, \,b = 1.\)
Phương pháp giải:
Với các giá trị cho trước của \(a\) và \(b\) ta thay vào hàm số và khảo sát, vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã học.
Lời giải chi tiết:
Khi \(\displaystyle a = {{ - 1} \over 2},b = 1\) ta có hàm số: \(\displaystyle y = {x^4} - {1 \over 2}{x^2} + 1\)
- Tập xác định: \((-∞; +∞).\)
- Sự biến thiên: \(y' = 4{x^3} - x = x\left( {4{x^2} - 1} \right).\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
4{x^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \dfrac{1}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\)
Trên các khoảng \(\displaystyle ({{ - 1} \over 2};0)\) và \(\displaystyle ({1 \over 2}\; + \infty )\) có \( y’ > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng \(\displaystyle ( - \infty ; {{ - 1} \over 2}) \) và \( \displaystyle (0;{1 \over 2})\) có \( y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0;\;\;{y_{CD}} = 1.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x = \pm {1 \over 2}; \,{y_{CT}} = {{15} \over {16}}.\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(y = 1\), không cắt trục hoành.
LG c
c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại các điểm có tung độ bằng \(1.\)
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=x_0\) có công thức: \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)
Lời giải chi tiết:
Với \(y = 1\) ta có phương trình:
\(\displaystyle {x^4} - {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\)
Trên đồ thị có 3 điểm với tung độ bằng 1 là:
\(\displaystyle {M_1}({{ - 1} \over {\sqrt 2 }}; \, 1);{M_2}(0; \, 1);{M_3}({1 \over {\sqrt 2 }}; \, 1)\)
Ta có \(y’(0) = 0\) nên tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(M_2\) có phương trình là \(y = 1.\)
Lại có:
\(\displaystyle y'({1 \over {\sqrt 2 }}) = {1 \over {\sqrt 2 }};y'({-1 \over {\sqrt 2 }}) = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}.\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_1}\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\;1} \right)\) là: \(y = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + 1 = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}x + \dfrac{1}{2}.\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_2}\left( { \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\;1} \right)\) là: \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}x + \dfrac{1}{2}.\)