Bài 5 trang 68 sách giáo khoa Giải tích 12

LG a

a) Cho \(a = lo{g_{30}}3,b = lo{g_{30}}5\). Hãy tính \(lo{g_{30}}1350\) theo \(a, b\).

Phương pháp giải:

+) Biến đổi các biểu thức logarit cần tính thông qua các logarit đề bài đã cho nhờ các công thức biến đổi cơ bản của logarit.

+) Thế các giá trị a, b vào biểu thức vừa biến đổi được ta tính được giá trị của biểu thức logarit cần tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(1350 = 30.3^2 .5\) suy ra

\(lo{g_{30}}1350 =lo{g_{30}}(30.{3^2}.5) \\= log_{30}30 + log_{30}3^2+log_{30}5\\ =1 + 2lo{g_{30}}3 + lo{g_{30}}5 = 1 + 2a+b.\)

LG b

b) Cho \(c =lo{g_{15}}3\). Hãy tính \(lo{g_{25}}15\) theo \(c\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(lo{g_{25}}15  = \dfrac{1}{log_{15}25}=\dfrac{1}{log_{15}5^2} \\= \dfrac{1}{2log_{15}5}= \dfrac{1}{2log_{15}\left ( 15: 3 \right )} \) \(= \dfrac{1}{2\left (log_{15}15-log_{15}3 \right )} \\ = \dfrac{1}{2\left (1-log_{15}3 \right )} = \dfrac{1}{2\left (1-c \right )}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{\log _{25}}15 = {\log _{{5^2}}}15 = \frac{1}{2}{\log _5}15\\
= \frac{1}{2}{\log _5}\left( {5.3} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_5}5 + {{\log }_5}3} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_5}3} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\
c = {\log _{15}}3\\
\Rightarrow \frac{1}{c} = {\log _3}15 = {\log _3}\left( {3.5} \right)\\
= {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\\
\Rightarrow {\log _3}5 = \frac{1}{c} - 1 = \frac{{1 - c}}{c}\\
\Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_3}5}} = \frac{c}{{1 - c}}\\
\Rightarrow {\log _5}3 = \frac{c}{{1 - c}}\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
{\log _{25}}15 = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_5}3} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{c}{{1 - c}}} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{1 - c + c}}{{1 - c}}\\
= \frac{1}{{2\left( {1 - c} \right)}}
\end{array}\)