Bài 5 trang 88 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\)  và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠  F_2\). Đường tròn \((C)\)  thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính \(MF_1,MF_2\) theo các bán kính, chú ý điều kiện tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong.

- Tính \(MF_1+MF_2\) và sử dụng định nghĩa elip để suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\)

\((C)\) và \(C_1\) tiếp xúc ngoài với nhau

\( \Rightarrow \)\(MF_1= R_1+ R\)  (1)

\((C)\) và \(C_2\) tiếp xúc trong với nhau

\( \Rightarrow \)\(MF_2= R_2- R\)  (2)

Từ (1) và (2) ta được 

\(M{F_1} + M{F_2} = {R_1}+R + {R_2}-R\) \(=R_1+R_2\) không đổi.

Điểm M có tổng các khoảng cách \(M{F_1} + M{F_2} \) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \({R_1} + {R_2}.\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\)   và có tiêu cự \(F_1F_2= R_1+R_2.\)