Bài 58 trang 25 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phân tích đa thức đã cho thành nhân tử, sau đó áp dụng tính chất: Một số chia hết cho \(2\) và \(3\) thì số đó chia hết cho \(6.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({n^3} - n = n({n^2} - 1) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\)

Với \(n ∈\mathbb Z\) thì \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(2\)

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(3\)

Do đó tích \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho cả \(2\) và \(3\).

Mà \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho \(6\) hay \({n^3} - n\) chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n.\)