-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 6 trang 114 SGK Hình học 11
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết bài 6 trang 114 SGK Hình học 11
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi cạnh \(a\) và có \(SA = SB = SC = a\). Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng \((ABCD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\);
b) Tam giác \(SBD\) là tam giác vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(AC \bot \left( {SBD} \right)\).
b) Chứng minh tam giác SBD có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó.
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Theo tính chất của hình thoi thì \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\)
Xét tam giác cân \(SAC\) cân tại \(S\) có \(SO\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó \(SO\bot AC\) (1)
Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC\bot (SBD)\)
\(AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD)\bot (SBD)\)
b) \(∆SAC = ∆BAC (c.c.c)\)
Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: \(SO = BO\)
\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(OB=OD\)
\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)
Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)
Cách khác:
Tam giác SOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:
\(S{O^2} = S{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)
Tam giác BOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:
\(B{O^2} = B{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)
\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)
Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)