Bài 6 trang 126 SGK Hình học 11


Đề bài / Mô tả: 

Xem lời giải và đáp án chi tiết bài 6 trang 126 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).

a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(BD'\) và \(B'C\).

b)Tính khoảng cách của hai đường thẳng \(BD'\) và \(B'C\)

Lời giải chi tiết

a) \(AB ⊥ (BCC’B’) ⇒ AB ⊥ B’C\)

\(BCC’B’\) là hình vuông có \(BC’ ⊥ B’C\)

\(⇒ B’C ⊥ (ABC’D’)\)

Trong mặt phẳng \((ABC’D’)\), kẻ \(IK ⊥ BD’\).

Vì \(B’C ⊥ (ABC’D’) ⇒ B’C ⊥ IK\)

Kết hợp với \(IK ⊥ BD’ \) \( ⇒ IK\) là đường vuông góc chung của \(B’C\) và \(BD’\)

b) Ta có: \(d\left( {B'C,BD'} \right) = IK\)

\(C'B = \sqrt {C{B^2} + B'{B^2}}  \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\(D'B = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}} \) \( = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Xét \(∆BIK\) và \(∆BD’C’\) có:

B chung

\(\widehat {BC'D'} = \widehat {BKI} = {90^0}\)

Suy ra \(∆BIK \backsim ∆BD’C’\) (g-g)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{IK} \over {D'C'}} = {{BI} \over {B{\rm{D}}'}} \cr
& \Rightarrow IK = {{BI.D'C'} \over {B{\rm{D}}'}} \cr} \).

Mà \(BI = \dfrac{1}{2}BC' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên:

\(IK = \dfrac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy \(d\left( {B'C,BD'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \)


Bình luận