Bài 6 trang 27 SGK Hình học 10

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tính:

a

 \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} |\)

Phương pháp giải:

Kẻ đường cao AH suy ra H là trung điểm BC.

Tính \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\) theo \(\overrightarrow {AH} \) dựa vào tính chất trung điểm.

Tính AH dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

(Chú ý: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối)

Lời giải chi tiết:

Hạ \(AH\bot BC\) do tam giác \(ABC\) đều nên \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AH} \cr 
& \Rightarrow |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = 2|\overrightarrow {AH} | = 2AH \cr} \)

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

AB=a, \(\widehat {ABH} = {60^0}\) nên \(AH = AB\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow |\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} | =2AH\) \(=2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}= a\sqrt 3 \)

Cách khác:

Vẽ hình bình hành ABDC, gọi H là giao điểm của AD và BC.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\end{array}\)

+ Hình bình hành ABDC có AB = AC ⇒ ABDC là hình thoi ⇒ AD ⊥ BC tại H.

+ H là trung điểm BC ⇒ BH = BC/2 = a/2.

+ ΔABH vuông tại H nên:

\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

+ H là trung điểm AD ⇒ AD = 2. AH = a√3.

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \).

b

\(|\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} |\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} =\overrightarrow {CB}\)

Suy ra \(|\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {CB} | = CB = a\)