Bài 62 trang 50 SGK Toán 7 tập 2

Cho hai đa thức:

\(P\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} \)\(- \dfrac{1}{4}x\)

\(Q\left( x \right) = 5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2}\)\( - \dfrac{1}{4}\)

a

Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

Phương pháp giải:

Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(P\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 7{x^4} - 9{x^3} + {x^2} \)\(- \dfrac{1}{4}x\)

\( = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} + \left( { - 3{x^2} + {x^2}} \right) \)\(\,- \dfrac{1}{4}x\)

\( = {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \dfrac{1}{4}x\)

\(Q\left( x \right) = 5{x^4} - {x^5} + {x^2} - 2{x^3} + 3{x^2}\)\( - \dfrac{1}{4}\)

\( =  - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + \left( {{x^2} + 3{x^2}} \right) - \dfrac{1}{4}\)

\( =  - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \dfrac{1}{4}\)

b

Tính \(P(x) + Q(x)\) và \(P(x) - Q(x)\).

Phương pháp giải:

- Áp dụng qui tắc cộng, trừ đa thức một biến.

Lời giải chi tiết:

Cách khác:  

c

Chứng tỏ rằng \(x = 0\) là nghiệm của đa thức \(P(x)\) nhưng không phải là nghiệm của đa thức \(Q(x)\).

Phương pháp giải:

- Muốn kiểm tra một số \(a\) có phải là nghiệm của đa thức \(f(x)\) không ta làm như sau:

- Tính \(f(a)=?\) ( giá trị của \(f(x)\) tại \(x = a\))

 +) Nếu \(f(a)= 0 \) \(\Rightarrow\) \( a\) là nghiệm của \(f(x)\)

 +) Nếu \(f(a)≠0\) \( \Rightarrow \) \(a\) không phải là nghiệm của \(f(x)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\( P(x)= {x^5} + 7{x^4} - 9{x^3} - 2{x^2} - \dfrac{1}{4}x\)

Nên \(P\left( 0 \right) = {0^5} + {7.0^4} - {9.0^3} - {2.0^2} - \dfrac{1}{4}.0\)\(\,=0\)

\( \Rightarrow x = 0\)  là nghiệm của \(P(x)\).

Ta có: \( Q(x) =  - {x^5} + 5{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - \dfrac{1}{4}\)

Nên \(Q\left( 0 \right) =  - {0^5} + {5.0^4} - {2.0^3} + {4.0^2} - \dfrac{1}{4}\)\( =  - \dfrac{1}{4} \ne 0\)

\( \Rightarrow x = 0\) không phải là nghiệm của \(Q(x)\).