-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 7 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết bài 7 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:
a
\(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.
Phương pháp giải phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\): Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết:
\(f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x - \dfrac{4}{5}\ cos x = 1\). (1)
Đặt \(\cos φ = \dfrac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\dfrac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ = \dfrac{4}{5}\), ta có:
(1) \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ - \cos x.\sin φ = 1 \Leftrightarrow \sin(x - φ) = 1\)
\(\Leftrightarrow x - φ = \dfrac{\pi }{2} + k2π \Leftrightarrow x = φ + \dfrac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\)
b
\(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \dfrac{2\pi +x}{2} \right )\)
Phương pháp giải:
Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau \(\pi\), hơn kém nhau \(\dfrac{\pi }{2}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \left( 1 \right)' - \left[ {\sin \left( {\pi + x} \right)} \right]' + 2\left[ {\cos \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]'\\
= - \left( {\pi + x} \right)'\cos \left( {\pi + x} \right) + 2\left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)'.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]\\
= - \cos \left( {\pi + x} \right) + 2.\dfrac{1}{2}.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]
\end{array}\)
\(f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \dfrac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin \dfrac{x }{2}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \dfrac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \dfrac{x }{2} = - cosx\)
\(\Leftrightarrow sin \dfrac{x }{2} = sin \left (x-\dfrac{\pi}{2}\right )\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{x}{2} = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\
\dfrac{x}{2} = \pi - x + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi - k4\pi \\
x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}
\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{2\pi + x}}{2}} \right)\\
= 1 + \sin x + 2\cos \left( {\pi + \frac{x}{2}} \right)\\
= 1 + \sin x - 2\cos \frac{x}{2}\\
f'\left( x \right) = \left( {1 + \sin x - 2\cos \frac{x}{2}} \right)'\\
= \left( 1 \right)' + \left( {\sin x} \right)' - 2\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)'\\
= 0 + \cos x - 2.\frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{x}{2}} \right)\\
= \cos x + \sin \frac{x}{2}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \frac{x}{2} = 0\\
\Leftrightarrow \cos x = - \sin \frac{x}{2} = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\pi - \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)} \right)\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{x}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + \frac{x}{2} + k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} - \frac{x}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi + k4\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k4\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Chú ý:
Ở họ nghiệm thứ 2 nếu cho \(k=1+l,l\in Z\) thì:
\(x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k4\pi }}{3} = - \frac{\pi }{3} + \frac{{\left( {1 + l} \right)4\pi }}{3} \)
\(= - \frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi + l4\pi }}{3} = - \frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi }}{3} + \frac{{l4\pi }}{3} \)
\(= \pi + \frac{{l4\pi }}{3}\)
Do đó hai họ nghiệm \(x = \pi + k4\pi\) và \(x= \pi + \frac{{l4\pi }}{3}\) hợp lại vẫn được họ nghiệm \(x=\pi + \frac{{l4\pi }}{3}\) trùng với kết quả cách 1.