Bài 7 trang 27 SGK Hình học 10

Đề bài

Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}
\end{array} \right..\)

+) \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\)

\(A'\) là trung điểm BC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_{A'}} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\1 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 8\,\left( 1 \right)\\{y_B} + {y_C} = 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(B'\) là trung điểm CA \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\{y_{B'}} = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\4 = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_A} = 4\,\left( 3 \right)\\{y_C} + {y_A} = 8\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

\(C'\) là trung điểm AB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_{C'}} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ - 2 = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\,\left( 5 \right)\\{y_A} + {y_B} =  - 4\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1), (3) và (5) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 8\\{x_C} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 8 - {x_B}\\ - 8 - {x_B} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 8 - {x_B}\\{x_A} - {x_B} = 12\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{x_B} =  - 4\\{x_C} =  - 4\end{array} \right.\)

Từ (2), (4) và (6) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 2\\{y_C} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\2 - {y_B} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\{y_A} - {y_B} = 6\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 1\\{y_B} =  - 5\\{y_C} = 7\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {8;1} \right),B\left( { - 4; - 5} \right),C\left( { - 4;7} \right)\).

Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Khi đó ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(G(0;1)\)  (*)

Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\)

Khi đó ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(G'(0;1)\)  (**)

Từ (*) và (**) ta thấy \(G \equiv G'\)

Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.