Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12

a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số: \(y = x^3+ 3x^2+ 1.\)

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = x^3+ 3x^2+ 1\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 2
\end{array} \right..
\end{array}\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-2)\) và \(\displaystyle (0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-2;0)\)

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=-2\); \(\displaystyle y_{CĐ}=5\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CT}=1\).

- Giới hạn: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\), \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Oy\) tại \(\displaystyle (0;1)\)

Đồ thị hàm số nhận \(\displaystyle I(-1;3)\) làm tâm đối xứng.

b

b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo \(m\): \({x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}.\)

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f(x) = \frac{m}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng \(y=\frac{m}{2}.\) Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) chính là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng \(\displaystyle (d)\): \(\displaystyle y = {m \over 2}\) 

Từ đồ thị ta thấy:

- Với \(\displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với \(\displaystyle {m \over 2} = 1  ⇔ m = 2\): (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10\): (d) cắt (C) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.

- Với  \(\displaystyle {m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle {m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.

Vậy, nếu \(m < 2\) hoặc \(m > 10\) thì phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m = 2\) hoặc \(m = 10\) thì phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(2 < m < 10\) thì phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt.

c

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \((C).\)

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Viết pt đường thẳng AB đi qua 2 điểm A, B ta làm như sau:

+ Tìm tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) suy ra tọa độ VTPT của đt.

+ Viết pt đường thẳng theo công thức \[a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\]

Lời giải chi tiết:

Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\displaystyle A(-2, 5)\), điểm cực tiểu là \(\displaystyle B(0, 1)\). 

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)\) là VTPT của AB.

AB đi qua A(-2;5) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)\) làm VTPT nên có pt:

\(4\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\)