Bài 7 trang 46 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A(-2; 1)\). Gọi \(B\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua gốc tọa độ \(O\). Tìm tọa độ của điểm \(C\) có tung độ bằng \(2\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(C\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) \(B\) là điểm đối xứng với \(A(a; \, b)\) qua gốc tọa độ \( \Rightarrow B\left( { - a; - b} \right).\)

+) Tam giác \(ABC\) vuông tại \( C \Leftrightarrow \overrightarrow {CA}  \bot \overrightarrow {CB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 0. \)

Lời giải chi tiết

Điểm \(B\) đối xứng với \(A\) qua gốc tọa độ O

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = - {x_A} = - \left( { - 2} \right) = 2\\
{y_B} = - {y_A} = - 1
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow B\left( {2; - 1} \right)\)

C có tung độ bằng 2 nên tọa độ của \(C\) là \((x; 2)\).

Ta có: \(\vec{CA} = (-2 - x; -1)\), \(\vec{CB} = (2 - x; -3)\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) \( \Leftrightarrow CA \bot CB\)

\(\Rightarrow\vec{CA} ⊥ \vec{CB}\Rightarrow \vec{CA}.\vec{CB} = 0\)

\(\Rightarrow(-2 - x)(2 - x) + (-1)(-3) = 0\)

\(\Rightarrow -4 +x^2+ 3 = 0\)

\(\Rightarrow x^2= 1 \Rightarrow x= 1\) hoặc \(x= -1\)

Ta tìm được hai điểm   \(C_1(1; 2);  C_2(-1; 2)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.