Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12

Cho hàm số: \(f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\) (\(m\) là tham số).

a

a) Xác định \(m\) để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên tập xác định \( \Leftrightarrow f'(x) \geq 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.

Lời giải chi tiết:

\(y=f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(y’= 3x^2-6mx + 3(2m-1)\\ = 3(x^2– 2mx + 2m – 1)\)

Hàm số đồng biến trên \(D =\mathbb R \) \(⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R\)

\(⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R\)

\(⇔ Δ’  \leq 0 \\  ⇔ m^2– 2m + 1  \leq 0 \\  ⇔ (m-1)^2\le 0 \\ ⇔ m =1.\)

(Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\) nên \({\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\) chỉ xảy ra khi m-1=0)

b

b) Với giá trị nào của tham số \(m\), hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

Phương pháp giải:

Hàm số có một cực đại và một cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

\(⇔\) phương trình \(y’= 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(⇔ \Delta' >0 ⇔ (m-1)^2> 0 ⇔ m≠1.\)

c

c) Xác định \(m\) để \(f’’(x)>6x.\)

Phương pháp giải:

Tính \(f''(x)\) sau đó giải bất phương trình \(f’’(x)>6x.\)

Lời giải chi tiết:

\(f’’(x) = 6x – 6m \)

\(f''(x) > 6x ⇔6x – 6m > 6x\)

\(⇔ -6m > 0\)

\(⇔ m < 0.\)