Bài 82 trang 33 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh:

LG a.

\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực \(x\) và \(y\);

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

- Tính chất: \({\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi số thực \(A,B\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1\)

\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1\)

\(={\left( {x - y} \right)^2} + 1 \)

Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x, y\).

Nên \({\left( {x - y} \right)^2} +1\ge 1>0\) với mọi \(x, y\).

Vậy \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\)  với mọi số thực \(x\) và \(y\). 

LG b.

\(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\).

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

- Tính chất: \({\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi số thực \(A,B\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(x - {x^2} - 1\)

\(=  - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\( =  - \left[ {{x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right]\)

\(=  - \left[ {{x^2} - 2x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] - \dfrac{3}{4}\)

\( =  - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4} \)   

Do \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi \(x\) nên \( - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \leqslant 0\) với mọi \(x\).

Suy ra \( - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}\le - \dfrac{3}{4}<0\) với mọi \(x\),

Vậy \(x - {x^2} - 1 < 0\)  với mọi số thực \(x\).