Bài 84 trang 109 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

 Cho tam giác \(ABC\), \(D\) là điểm nằm giữa \(B\) và \(C.\) Qua \(D\) kẻ các đường thẳng song song với \(AB\) và \(AC\), chúng cắt các cạnh \(AC\) và \(AB\) theo thứ tự ở \(E\) và \(F.\)

a) Tứ giác \(AEDF\) là hình gì ? Vì sao ?

b) Điểm \(D\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) thì tứ giác \(AEDF\) là hình thoi ?

c) Nếu tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì tứ giác \(AEDF\) là hình gì ? Điểm \(D\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) thì tứ giác \(AEDF\) là hình vuông ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng dấu hiệu nhận biết:

- Hình bình hành có các cạnh đối song song,

- Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc là hình thoi,

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật,

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(AEDF\) có:  

 \(DE // AF, DF // AE\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \)  Tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

b) Hình bình hành \(AEDF\) là hình thoi thì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {CAB}\).

Do đó \(D\) là giao điểm của tia phân giác của \(\widehat {CAB}\) với \(BC\) thì hình bình hành \(AEDF\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

c) Nếu  \(∆ABC\) vuông tại \(A\) thì hình bình hành \(AEDF\) có một góc vuông do đó hình bình hành \(AEDF\) là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) 

Nếu \(∆ABC\) vuông tại \(A\) và \(D\) là giao điểm của tia phân giác của \(\widehat {CAB}\) với cạnh \(BC\) thì \(AEDF\) là hình vuông (vì khi đó \(AEDF\) là hình thoi có một góc vuông).