Bài 88 trang 111 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) Các đường chéo \(AC, BD\) của tứ giác \(ABCD\) có điều kiện gì thì \(EFGH\) là:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?      

c) Hình vuông

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

- Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Lời giải chi tiết

+ Ta có: \(EB = EA, FB = FC\) (gt)

Do đó \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

Suy ra \(EF //AC, EF =  \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

+ Ta có: \(HD = HA, GD = GC\) (gt)

Do đó \(HG\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\)

Suy ra \(HG // AC, HG =  \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do đó \(EF //HG, EF = HG\) nên \(EFGH\) là hình bình hành.

+ Ta có: \(EB = EA, AH = HD\) (gt)

Do đó \(EH\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\).

Suy ra \(EH //BD, EH =   \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

a) Hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật \(⇔EH  ⊥ EF\)

\(⇔ AC ⊥ BD\) (vì \(EH // BD; EF // AC\))

Điều kiện phải tìm: các đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau.

b) Hình bình hành \(EFGH\) là hình thoi \(⇔ EF = EH\)

  \(⇔AC = BD\) (vì  \(EF = \dfrac{1}{2}AC,EH = \dfrac{1}{2}BD)\)

Điều kiện phải tìm: các đường chéo \(AC\) và \(BD\) bằng nhau.

c) Hình bình hành \(EFGH\) là hình vuông khi và chỉ khi

\(EFGH\) vừa là hình chữ nhật đồng thời là hình thoi.

\(\Rightarrow AC ⊥ BD\) và \(AC = BD\).

Điều kiện phải tìm: các đường chéo \(AC, BD\) bằng nhau và vuông góc với nhau.