-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
Đề bài / Mô tả:
Xem lời giải và đáp án chi tiết cho bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\), cắt \(SB\) tại \(E\) và cắt \(SD\) tại \(F\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEMF\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua AM và song song với BD là tức giác AEMF.
Chứng minh AEMF có hai đường chéo vuông góc \( \Rightarrow {S_{AEMF}} = \dfrac{1}{2}AM.EF\)
Chứng minh \(SM \bot \left( {AEMF} \right)\) \( \Rightarrow {V_{S.AEMF}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{AEMF}}\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(\displaystyle H = AC \cap BD\).
Hình chóp \(\displaystyle S.ABCD\) là hình chóp đều nên chân \(\displaystyle H\) của đường cao \(\displaystyle SH\) chính là tâm của đáy.
Mặt phẳng đi qua \(\displaystyle AM\) và song song với \(\displaystyle BD\) cắt mặt phẳng \(\displaystyle (SDB)\) theo một giao tuyến song song với \(\displaystyle BD\)\. Ta dựng giao tuyến \(\displaystyle EF\) như sau: Gọi \(\displaystyle I\) là giao điểm của \(\displaystyle AM\) và \(\displaystyle SH\). Qua \(\displaystyle I\) ta dựng một đường thẳng song song với \(\displaystyle BD\), đường này cắt \(\displaystyle SB\) ở \(\displaystyle E\) và cắt \(\displaystyle SD\) ở \(\displaystyle F\).
Ta có: \(\displaystyle HA\) là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle SA\) trên \(\displaystyle (ABCD)\) \(\displaystyle \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AH} \right)} = \widehat {SAH} = {60^0}\)
Tam giác cân \(\displaystyle SAC\) có \(\displaystyle SA = SC\) và góc \(\displaystyle SAC = 60^0\) nên nó là tam giác đều: \(\displaystyle I\) là giao điểm của các trung tuyến \(\displaystyle AM\) và \(\displaystyle AH\) nên I là trọng tâm của tam giác đều SAC \(\displaystyle \Rightarrow {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Do \(\displaystyle EF // DB \) \(\displaystyle \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Vì \(\displaystyle DB = a\sqrt2\) \(\displaystyle \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}\)
Tam giác \(\displaystyle SAC\) là tam giác đều nên \(\displaystyle AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)
Ta lại có \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \) \(\Rightarrow BD \bot AM \Rightarrow AM \bot EF\)
Tứ giác \(\displaystyle AEMF\) có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: \(\displaystyle {S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Mặt khác, tam giác \(\displaystyle ASC\) là tam giác đều, \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle SC\) nên \(\displaystyle AM \bot SC\). Ta cũng có \(\displaystyle DB \bot (SAM)\) \(\displaystyle \Rightarrow DB \bot SC\) vì \(\displaystyle DB // EF\) nên \(\displaystyle EF \bot SC\). Từ kết quả trên, suy ra \(\displaystyle SM \bot(AEMF)\).
Dễ thấy \(\displaystyle SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) (do tam giác \(\displaystyle SAC\) đều). Do đó: \(\displaystyle {V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}\).