Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\displaystyle (C)\) của hàm số  \(\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)

Phương pháp giải:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số y = \(\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)  \(\displaystyle (C)\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3)\)

\(\displaystyle \Rightarrow y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-\sqrt3)\) và \(\displaystyle (0;\sqrt3)\), đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\sqrt 3;0)\) và \(\displaystyle (\sqrt3;+\infty)\).

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CĐ}={3\over 2}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(\displaystyle x=-\sqrt3\) và \(\displaystyle x=\sqrt3\); \(\displaystyle y_{CT}=y(\pm\sqrt3)=-3\)

- Giới hạn:

   \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục \(\displaystyle Oy\) làm trục đối xứng.

b

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị \(\displaystyle (C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(\displaystyle f’’(x) = 0.\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(\displaystyle f''(x)=0\) để tìm \(\displaystyle x_0.\) Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle (C)\) theo công thức: \(\displaystyle y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle y’’ = 6x^2– 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 \) \(⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.\)

Có \(\displaystyle y’(-1) = 4; \, \,  y’(1) = -4; \, \,  y(± 1) = -1\)

Tiếp tuyến của \(\displaystyle (C)\) tại điểm \(\displaystyle (-1, -1)\) là : \(\displaystyle y = 4(x+1) – 1= 4x+3.\)

Tiếp tuyến của \(\displaystyle (C)\) tại điểm \(\displaystyle (1, -1)\) là: \(\displaystyle y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.\)

c

c) Biện luận theo tham số \(\displaystyle m\) số nghiệm của phương trình: \(\displaystyle x^4- 6x^2+ 3 = m.\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng: \(\displaystyle {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}. \) Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle {x^4} - 6{x^2} + 3 = m \) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng (d) : \(\displaystyle y = {m \over 2}\)

Từ đồ thị ta thấy:

\(\displaystyle \frac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m < -6\) thì d và (C) không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6\) thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

\(\displaystyle -3 < \frac{m}{2}<\frac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3\) thì d và (C) có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3\) thì d và (C) có 3 điểm chung nên ( 1) có 3 nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3\) thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

Vậy:

+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.

+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.