Bài 95 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90^0\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng:

a) \(CD = CE\) ;     b) \(ΔBHD\) cân ;     c) \(CD = CH\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)  Sử dụng: “Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau” và hai góc phụ nhau từ đó suy ra hai cung bằng nhau và hai dây bằng nhau.

b)  Chứng minh tam giác BHD có BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân

c)  Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng  

Lời giải chi tiết

a) Gọi K là giao điểm của BC và AD

Gọi I là giao điểm của BE và AC 

Cách 1:

Ta có: \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\) (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\(\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\) (2) (do tam giác BDK vuông tại K)

\(\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\) (3) (do tam giác AIE vuông tại I)

 Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Có \(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\widehat {EAC}\) là góc nội tiếp chắn cung CE 

⇒ \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)

Suy ra \(CD = CE\)

Cách 2:

Vì \(BC \bot AD\) nên \(\widehat{AKB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AKB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên

\(\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0\) (1) 

Vì \(BE \bot AC\) nên \(\widehat{AIB}=90^0\)

Lại có \(\widehat{AIB}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên

\(\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0\)

Suy ra \(sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}\)

Suy ra \( \overparen {CE}=\overparen {CD}\), do đó \(CE=CD.\)

b) Ta có \(\widehat {EBC}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}}\) là góc nội tiếp trong đường tròn \(O\) nên :

 \(\widehat {EBC} = {1 \over 2} sđ\overparen{CE}\) và \(\widehat {CB{\rm{D}}} = {1 \over 2}sđ\overparen{CD}\) 

Mà \(sđ\overparen{CD}\)= \(sđ\overparen{CE}\)

nên \(\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\) suy ra BK là phân giác góc HBD.

Lại có BK vuông góc với HD (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên  \(∆BHD\) cân tại \(B\)

c) Vì \(∆BHD\) cân và \(BK\) là đường cao cũng là đường trung trực của \(HD\). Điểm \(C\) nằm trên đường trung trực của \(HD\) nên \(CH = CD\)