Bài tập 1.22 trang 16 sách bài tập giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + mx + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính \(y'\).

- Tìm \(m\) từ điều kiện: Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số thì \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\).

- Thay \(m\) vào hàm số và kiểm tra lại theo yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\)

\(y' = 3{x^2}-4x + m;\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2}-4x + m = 0\)

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

\(∆’ = 4 – 3m   > 0 ⇔ m < {4 \over 3}\)    (*)

Hàm số có cực trị tại \(x = 1\) thì:

\(y’(1) = 3 – 4 + m = 0  => m = 1\)  (thỏa mãn điều kiện (*) )

Mặt khác, vì: \(y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0\) nên tại \(x = 1\) hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với \(m = 1\), hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1\)