Câu hỏi 2 Bài 9 trang 82 SGK Toán 7 Tập 2

Đề bài

Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: Tính chất của các đường trung trực, phân giác, trung tuyến, đường cao.

Lời giải chi tiết

- Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác

\(AI\) là đường trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow \) \(AB = AC\) (Tính chất đường trung trực đoạn thẳng)

\( \Rightarrow  ΔABC\) cân tại \(A\).

- Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung trực vừa là đường cao.

\(AI\) là đường trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow \) \(AB = AC\) (Tính chất đường trung trực đoạn thẳng)

\( \Rightarrow  ΔABC\) cân tại \(A\).

- Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường phân giác vừa là đường cao

\(AI\) là đường cao \( \Rightarrow  AI ⊥ BC\)

Xét hai tam giác vuông \(ΔABI\) và \(ΔACI\) có:

+) \(AI\) chung

+) \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (do \(AI\) là phân giác góc \(BAC\))

\( \Rightarrow  ΔABI = ΔACI\) (góc nhọn – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow  AB = AC \)(hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow  ΔABC\) cân tại \(A\).

- Bài tập 4: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.

Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

\(AI\) là đường cao suy ra \(AI ⊥ BC\).

\(AI\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow \) \(I\) là trung điểm \(BC\).

Do đó \(AI\) là đường trung trực của \(BC\)

\( \Rightarrow  AB = AC\) (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

\( \Rightarrow  ΔABC\) cân tại \(A\).