Câu hỏi 4 bài 4 trang 13 SGK Toán 8 Tập 1

Đề bài

Phát biểu hằng đẳng thức (5) bằng lời.

Áp dụng:

a) Tính \({\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^3}\)

b) Tính \((x-2y)^3\)

c) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

\(\begin{array}{l}
1)\,\,{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {1 - 2x} \right)^2}\\
2)\,{\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {1 - x} \right)^3}\\
3)\,{\left( {x + 1} \right)^3} = {\left( {1 + x} \right)^3}\\
4)\,{x^2} - 1 = 1 - {x^2}\\
5)\,{\left( {x - 3} \right)^2} = {x^2} - 2x + 9
\end{array}\)

Em có nhận xét gì về quan hệ của \((A-B)^2\) với \((B-A)^2\), của \((A-B)^3\) với \((B-A)^3\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hằng đẳng thức

\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)  (5)

Lời giải chi tiết

Phát biểu: 

Lập phương của hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, sau đó cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ đi lập phương biểu thức thứ hai.

Áp dụng: 

\(\begin{array}{l}
a)\,{\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^3}\\
= {x^3} - 3.{x^2}.\dfrac{1}{3} + 3.x.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}\\
= {x^3} - {x^2} + \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{{27}}\\
b)\,{\left( {x - 2y} \right)^3}\\
= {x^3} - 3{x^2}.2y + 3x.{\left( {2y} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^3}\\
= {x^3} - 6{x^2}y + 3x.4{y^2} - 8{y^3}\\
= {x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3}
\end{array}\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}
1)\,{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.1 + {1^2}\\
= {1^2} - 2.2x + {\left( {2x} \right)^2} = {\left( {1 - 2x} \right)^2}
\end{array}\)

Nên 1) đúng

\(\begin{array}{l}
2)\,{\left( {x - 1} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\\
{\left( {1 - x} \right)^3} = 1 - 3x + 3{x^2} - {x^3}\\
\Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = - {\left( {1 - x} \right)^3}
\end{array}\)

Nên 2) sai

3) đúng do tính chất giao hoán của phép cộng

4) sai do \({x^2} - 1 =  - \left( {1 - {x^2}} \right)\)

5) sai do

\(\begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^2} = {x^2} - 2.x.3 + {3^2}\\
= {x^2} - 6x + 9 \ne {x^2} - 2x + 9
\end{array}\)

Ta có nhận xét như sau:

+) 

\(\begin{array}{l}
{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\\
{\left( {B - A} \right)^2} = {B^2} - 2AB + {A^2}\\
\Rightarrow {\left( {A - B} \right)^2} = {\left( {B - A} \right)^2}
\end{array}\)

+) Vì \(A - B =  - \left( {B - A} \right)\) nên \({\left( {A - B} \right)^3} =  - {\left( {B - A} \right)^3}\)