Câu hỏi 4 trang 101 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tính tổng số các hạt thóc ở \(11\) ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nhân cả tổng \(S\) cần tính với \(2\) rồi lấy \(2S-S\), thu gọn ta được kết quả.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = 2\\
{u_3} = {2^2}\\
...\\
{u_{11}} = {2^{10}}
\end{array}\)

\( \Rightarrow S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}\) \( = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{10}}\)

\( \Rightarrow 2S = 2 + {2^2} + ... + {2^{10}} + {2^{11}}\)

\( \Rightarrow 2S - S = \left( {2 + {2^2} + ... + {2^{10}} + {2^{11}}} \right) \) \(- \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{10}}} \right)\)

\( \Rightarrow S = {2^{11}} - 1  = 2047\)

Cách tổng quát:

Ta có:

S = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ + u₇ + u₈ + u₉ + u₁₀ + u₁₁

= u₁ + u₁.q + u₁.q² +⋯+ u₁.q⁹ + u₁.q¹⁰ (1)

⇒ S.q = u₁.q + u₁.q² +⋯+ u₁.q⁹ + u₁.q¹⁰ + u₁.q¹¹ (2)

Lấy (1) trừ (2), ta được:

\(\left( {1 - q} \right)S = {u_1}\left( {1 - {q^{11}}} \right) \)

\(\Rightarrow S = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{11}}} \right)}}{{1 - q}}\)

Do đó tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là \[S = \frac{{1\left( {1 - {2^{11}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{11}} - 1 = 2047\]