Câu hỏi 4 trang 34 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải phương trình 3cos² 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Biến đổi phương trình về bậc hai với ẩn \(t=\sin 6x \).

- Giải phương trình ẩn \(t\) và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết

3cos² 6x + 8sin⁡3x cos⁡3x - 4 = 0

⇔ 3(1-sin²6x)+ 4sin⁡6x - 4 = 0

⇔ - 3sin²6x + 4sin⁡6x - 1 = 0

Đặt sin⁡6x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t² + 4t - 1 = 0(1)

Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1)có hai nghiệm là:

\(\eqalign{
& {t_1} = {{ - 4 + \sqrt 4 } \over {2.( - 3)}} = {1 \over 3}(TM) \cr
& {t_2} = {{ - 4 - \sqrt 4 } \over {2.( - 3)}} = 1\,(TM) \cr} \)

Ta có:

sin⁡6x = \({{ 1} \over 3}\) ⇔ 6x = arcsin \({{ 1} \over 3}\)  + k2π và 6x = π - arcsin \({{ 1} \over 3}\)  + k2π

⇔ x = \({1 \over 6} \) arcsin \({{ 1} \over 3}\)  + \({{k\pi } \over 3}\),và x = \({\pi  \over 6}\) - \({1 \over 6}\) arcsin \({{ 1} \over 3}\)  + \({{k\pi } \over 3}\), k ∈ Z

sin⁡6x = 1 ⇔ sin⁡6x = \(\sin {{ \pi } \over 2}\)

⇔ 6x = \({{ \pi } \over 2}\) + k2π, k ∈ Z

⇔ x = \({{ \pi } \over 12}\) + \({{k\pi } \over 3}\), k ∈ Z