Câu hỏi 5 trang 10 SGK Hình học 11

Đề bài

Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục đối xứng, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox để chứng minh tính chất 1.

Lời giải chi tiết

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\)

Xét phép đối xứng qua trục Ox thì A, B biến thành \(A'\left( {{x_A}; - {y_A}} \right),B'\left( {{x_B}; - {y_B}} \right)\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \\
A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} \\
= \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \\
= AB\\
\Rightarrow A'B' = AB \Rightarrow dpcm
\end{array}\)

Chú ý:

Trực quan các em có thể lấy hai điểm A, B cụ thể như sau:

Lấy ảnh A',B' của hai điểm A(1; 2) và B(2; 3) qua phép đối xứng trục Ox

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox, ta có:

A'(1;-2), B'(2;-3)

\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(3 - 2)}^2}} \cr &= \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \cr
& A'B' = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 3 - ( - 2))}^2}} \cr &= \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 2 \cr} \)

⇒ A'B' = AB