Câu hỏi 5 trang 23 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.

Lời giải chi tiết

I là giao điểm AC và BD nên I là trung điểm của AC và BD

Mà AC = BD ⇒ AI = BI = \({1 \over 2}\) AC = \({1 \over 2}\) BD

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC ⇒ EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD và \(AE = BF = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC\)

⇒ EF // AB ⇒ EF vuông góc với AD và EF vuông góc với BC

Xét hai tam giác vuông AEI và BFI có:

AI = BI

AE = BF

⇒ ΔAEI = ΔBFI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ EI = FI (hai cạnh tương ứng)

⇒ I là trung điểm EF

Do đó, phép đối xứng qua tâm I biến hình thang AEIB thành hình thang CFID

⇒ Hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau.