Câu hỏi Bài 5 trang 111 SGK Toán 9 Tập 1

Đề bài

Hãy chứng minh cách dựng trên là đúng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:  Đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

Ta có: MA = MO = MB ( cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

\(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MB \Rightarrow \Delta MAB\) cân tại \(M \Rightarrow \widehat {BAO} = \widehat {ABM}\)

\(MO = MB \Rightarrow \Delta MOB\) cân tại \(M \Rightarrow \widehat {BOA}{\rm{ }} = \widehat {MBO}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAO} + \widehat {BOA} = \widehat {ABM}{\rm{ }} + \widehat {MBO}{\rm{ }} = \widehat {ABO}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Mặt khác ta lại có: \(\widehat {BAO} + \widehat {BOA} + \widehat {ABO} = {180^o}\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (tổng 3 góc trong tam giác)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {ABO} =180^0:2= {90^o}\)

Suy ra \(AB\bot BO\) tại \(B\), mà \(B\in (O)\)

Do đó AB là tiếp tuyến của (O) 

Chứng minh tương tự,

Ta có: MA = MO = MC ( cùng bằng bán kính đường tròn tâm M, bán kính MO)

\(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MC \Rightarrow \Delta MAC\) cân tại \(M \Rightarrow \widehat {CAO} = \widehat {ACM}\)

\(MO = MC \Rightarrow \Delta MOC\) cân tại \(M \Rightarrow \widehat {COA}{\rm{ }} = \widehat {MCO}\)

\( \Rightarrow \widehat {CAO} + \widehat {COA} = \widehat {ACM}{\rm{ }} + \widehat {MCO}{\rm{ }} = \widehat {ACO}{\rm{ }}\left( 3 \right)\)

Mặt khác ta lại có: \(\widehat {CAO} + \widehat {COA} + \widehat {ACO} = {180^o}\,\,\,\,\left( 4 \right)\) (tổng 3 góc trong tam giác)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {ACO} =180^0:2= {90^o}\)

Suy ra \(AC\bot CO\) tại \(C\), mà \(C\in (O)\)

Do đó AC là tiếp tuyến của (O)