Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 5 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Trên tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại A, lấy điểm P sao cho \(AP = R\sqrt 3 \)

a. Tính các cạnh và các góc của ∆PAO.

b. Kéo dài đường cao AH của ∆PAO cắt đường tròn (O) tại B. Chứng tỏ PB là tiếp tuyến đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a. Ta có: AP là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên \(AP ⊥ OA.\)

Xét tam giác vuông PAO ta có:

\(OP = \sqrt {O{A^2} + P{A^2}}  \)\(\;= \sqrt {{R^2} + {{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2R.\)

Dễ thấy \(∆PAO\) là nửa tam giác đều nên :

\(\widehat P = 30^\circ \) và \(\widehat O = 60^\circ \)

b. Ta có: ∆BOA cân tại O (OA = OB = R) có đường cao OH đồng thời là đường phân giác \( \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_2}\)

Xét \(∆PBO\) và \(∆PAO\) có:

PO cạnh chung

\({\widehat O_1} = {\widehat O_2}\) (cmt)

\(OB = OA (=R)\)

Vậy \(∆PBO = ∆PAO\) (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {PBO} = \widehat {PAO} = 90^\circ \)

Hay PB là tiếp tuyến của (O)