Câu hỏi 15

ĐK: \(\dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \dfrac{x}{2} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Do hàm số \(y = \tan X\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên ta có:

\(\dfrac{\pi }{4} < \dfrac{x}{2} < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow \tan \dfrac{\pi }{4} < \tan \dfrac{x}{2} < \tan \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 1 < \tan \dfrac{x}{2} <  + \infty \).

Suy ra phương trình \(\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{m}{{1 - 2m}}\,\,\left( {m \ne \dfrac{1}{2}} \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\dfrac{m}{{1 - 2m}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{m}{{1 - 2m}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1 + 2m}}{{1 - 2m}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3m - 1}}{{1 - 2m}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < m < \dfrac{1}{2}\)

Chọn A