Câu hỏi 18

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(0 < x < \pi \) ta có:

\(0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{2} + k < 1 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2}\). Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\).

\( \Rightarrow \) Họ nghiệm này có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2}\) thỏa mãn.

Xét họ nghiệm \(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(0 < x < \pi \) ta có:

\(0 < k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < 2k < 1 \Leftrightarrow 0 < k < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \) Không có số nguyên \(k\) nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A