Câu hỏi 13

Đặt \(t = \sin x - \cos x\)\(\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \({t^2} = 1 - 2\sin x\cos x\)\( \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Thay vào phương trình ta được \(\left| t \right| + 8.\dfrac{{1 - {t^2}}}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow 2\left| t \right| + 8 - 8{t^2} = 2\)\( \Leftrightarrow 8{t^2} - 2\left| t \right| - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| t \right| =  - \dfrac{3}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t =  \pm 1\left( {TM} \right)\)

TH1 : \(t = 1\) thì \(\sin x - \cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\)

TH2 : \(\sin x - \cos x =  - 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

Vậy có bốn điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Chọn D.