Câu hỏi 40

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + \tan x + \cot x + 3 = m\end{array}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).

Phương trình trở thành: \(3\left( {{t^2} - 2} \right) + t + 3 = m \Leftrightarrow 3{t^2} + t - 3 = m\).

Yêu cầu bài toán: Tìm \(m\) để phương trình \(3{t^2} + t - 3 = m\) (*) có nghiệm thỏa mãn \(\left| t \right| \ge 2\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + t - 3\) ta có BBT:

Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên, \(m < 2018 \Rightarrow \) Có \(2011\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D