Câu hỏi 3

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1.2 = 2\), do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh \({S_n} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 3}\,\,\left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương n.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 3},\) ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 3},\)

Ta có:  

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)  \cr   &  = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 3}. \cr} \)

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn B.