Câu hỏi 19

Cách 1:

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được \({S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {n \over {n + 1}}\,\,\left( * \right)\)

Thật vậy, với n = 1 ta có \({S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} = {1 \over {1 + 1}}\)

Giả sử (*) đúng đến n = k, khi đó ta có: \({S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {k \over {k + 1}}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}  \cr   &  = {k \over {k + 1}} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{k\left( {k + 2} \right) + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{{k^2} + 2k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{\left( {k + 1} \right)} \over {\left( {k + 2} \right)}}. \cr} \)

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Cách 2:

Ta có nhận xét sau: \({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\,\,\forall k \in N*\), do đó:

\({S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = 1 - {1 \over {n + 1}} = {n \over {n + 1}}\).

Chọn B.